|
ОпределениеФункция Эйлера (иногда обозначаемая или ) — это количество чисел от до , взаимно простых с . Иными словами, это количество таких чисел в отрезке , наибольший общий делитель которых с равен единице. Несколько первых значений этой функции (A000010 в энциклопедии OEIS):
СвойстваТри следующих простых свойства функции Эйлера — достаточны, чтобы научиться вычислять её для любых чисел:
Отсюда можно получить функцию Эйлера для любого через его факторизацию (разложение на простые сомножители): если
(где все — простые), то
РеализацияПростейший код, вычисляющий функцию Эйлера, факторизуя число элементарным методом за :
int phi (int n) { int result = n; for (int i=2; i*i<=n; ++i) if (n % i == 0) { while (n % i == 0) n /= i; result -= result / i; } if (n > 1) result -= result / n; return result; } Ключевое место для вычисление функции Эйлера — это нахождение факторизации числа . Его можно осуществить за время, значительно меньшее : см. Эффективные алгоритмы факторизации.
Приложения функции ЭйлераСамое известное и важное свойство функции Эйлера выражается в теореме Эйлера: где и взаимно просты. В частном случае, когда простое, теорема Эйлера превращается в так называемую малую теорему Ферма: |
|
Мішатронік. Автор - Кренцін Михайло © 2013-2024 |
Хостинг від uCoz |